11.2.1课时1三角形的内角（C层培优）

11.2.1课时1三角形的内角（C层培优） null 建议用时：15分钟 1．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是______． 2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：∠A+∠C＝∠B+D； (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　 　个，以点O为交点的“8字型”有　 　个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2.1课时1三角形的内角（C层培优） null 建议用时：15分钟 1．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，是边上一动点．当是“和谐三角形”时，的度数是______． 【答案】30°或52.5°或80°． 【解析】 【分析】 分三种情况讨论，①当∠CDA＝3∠C时，②当∠C＝3∠CAD时，③∠CDA＝3∠CAD时，由“和谐三角形”定义可求解； 【详解】 解：∵，， ∴ ①当∠CDA＝3∠C时，∠CDA＝90°， ∴∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝30°； ②当∠C＝3∠CAD时， ∴∠CAD＝10°， ∴∠DAB＝80°； ③∠CDA＝3∠CAD时， ∴∠CAD＝×(180°-30°)=37.5°， ∴∠DAB＝52.5°， 故答案为：30°或52.5°或80°． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，理解“和谐三角形”定义，并能运用是解决本题的关键． 2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：∠A+∠C＝∠B+D； (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的