专题13 圆锥曲线中角的关系问题的研究-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题13 圆锥曲线中角的关系问题的研究 一、真题剖析 【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抛物线为载体，考查考生对直线与抛物线的位置关系的综合性应用，侧重于对直线倾斜角的考查。 【必备知识】本题考查直线与椭圆位置关系、线段为定值的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. (1) 抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； (2) 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为， 所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. 二、题型选讲 题型一 角度的等量关系的证明或判断 例1、【2018年新课标1卷理科】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】 （1）由已知得，l的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. 【点睛】 该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 变式1、【2018年新课标1卷文科】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 【答案】（1）或；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入抛物线方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）设直线的方程为，点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线、的斜率之和为零，从而得出所证结论成立. 【详解】 （1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或． 所以直线的方程为或； （2）设的方程为，、， 由，得，可知，． 直线、的斜率之和为 ， 所以，可知、的倾斜角互补，所以. 综上，. 变式2、（2022·广东东莞·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程； （2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明. (1) 由题知，得， 又因为右焦点为，则， 解得，所以， 所以椭圆的方程为. (2) 设点的坐标为，则， 所以直线的方程是， 当时，，所以点的坐标为， 所以，， 所以. 因为点在椭圆上，所以，即， 所以 ， 又因为和是锐角， 所以. 题型二、 与角度有关的问题 例2、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知椭圆：的离心率为，点在上.