第11讲 函数的奇偶性-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

函数的奇偶性 【知识梳理】 1. 奇偶性的定义 设函数的定义域为， 如果对于任意的，都有，并且， 那么称函数是偶函数； 如果对于任意的，都有，并且， 那么称函数是奇函数； 注：定义域关于原点对称. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且=-，则既是奇函数，又是偶函数 4.判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法： 两个奇函数的和仍为奇函数； 两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断. 在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称， 然后判断与的关系. 首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题} 考点一：判断函数奇偶性的方法 1.判断函数奇偶性 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝x2＋1； (4) f(x)＝； （5）f(x)＝ 考点二：奇偶性的性质 2.已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条