4.2.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 4.2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用 知识梳理 问题初探 题型探究 2.等差数列前项和的最值问题 1.等差数列前n项和的常用性质 3.等差数列前项和的应用 4.数列的其他求和方法 课堂小结 S2k－Sk S3k－S2k 知识点一 等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么__________，__________，__________成等差数列，如图所示． Sk a中 eq \f(n＋1,2)a中 eq \f(n－1,2)a中 eq \f(n＋1,n－1) n 2．若Sn，Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，那么eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn). 3．设数列{an}是公差为d的等差数列，S奇是前n项中奇数项的和，S偶是前n项中偶数项的和，则数列{an}的前n项和Sn＝S奇＋S偶，当等差数列的项数n为奇数时，中间一项记为a中，有如下性质： (1)当n为偶数时，S偶－S奇＝_____d； (2)当n为奇数时，则S奇－S偶＝______，S奇＝_________，S偶＝___________，eq \f(S奇,S偶)＝______，eq \f(Sn,S奇－S偶)＝eq \f(S奇＋S偶,S奇－S偶)＝______. eq \f(n,2) 知识点二 等差数列前n项和的函数特征 1．公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)可化成关于n的表达式：Sn＝________________.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和Sn是二次函数y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x(x∈R)的x＝n的函数值，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一群孤立的点． eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n an≥0 an＋1≤0 最小 an≤0 an＋1≥0 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有______值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________))确定； 当a1<0，d>0时，Sn有______值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(__________，,__________))确定． 最大 最大 (2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__________值；当d<0时，Sn有__________值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 最小 一、答一答 1．(知识点一)如果{an}是等差数列，那么a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也是等差数列吗？ 提示：设数列{an}的公差为d， 则a3＋a4＝(a1＋a2)＋4d，a5＋a6＝(a3＋a4)＋4d， 所以(a5＋a6)－(a3＋a4)＝(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d， 即a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6构成等差数列． eq \f(21,32) 2．(知识点一)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋1)，则eq \f(a11,b11)＝__________. 解析：eq \f(a11,b11)＝eq \f(\f(a1＋a21,2),\f(b1＋b21,2))＝eq \f(\f(21a1＋a21,2),\f(21b1＋b21,2))＝eq \f(S21,T21)＝eq \f(2×21,3×21＋1)＝eq \f(21,32). 解析：因为a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a8>0，a9<0，所以当n＝8时，数列{an}的前n项和最大． 3．(知识点二)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝__________时，数列{an}的前n项和最大． 8 4．(知识点二)一般地，如果一个数列{an}的前n项和Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，