4.2.2.1 等差数列的前n项和公式（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 4.2.2.1 等差数列的前n项和公式 据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 高斯的算法： 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 高斯的算法实际上解决了求等差数列   ① 前100项的和的问题. 情景引入 思考：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系. 性质：在等差数列，若，且,则. 思考：你能用高斯的方法求吗？ 当是偶数时，有 于是有 将上述方法推广到一般，可以得到： 当奇数时，有 所以，对任意正整数，都有 思考：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？ 对公式 作变形，可得 它相当于两个 相加，而结果变成个相加. 受此启发，我们得到下面的方法：                     将上述两式相加，可得 所以 探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和. 倒序相加法 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ，② . ③， ②+③得    由此得到等差数列的前项和公式 （1） 把等差数列的通项公式代入公式（1）， 可 （2） 等差数列的前项和公式 思考: 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 【典例1】已知数列是等差数列. （1）若； （2）若，求； （3）若，， 分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用的值求出，再利用公式求和；（3）已知公式中的，解方程即可求得. 解：（1）因为，根据公式，可得 （2）因为，所以.根据公式，可得×＝. （3）把，，代入，得×. 整理，得 解得（舍去）. 所以 方法技巧：等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量 这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量的方程组，解出， 便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质： 若，则，常与求和公式结合使用． 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)只有在等差数列中S1等于a1.(　　) (2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.(　　) (3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.(　　) × √ × 2.(1)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　　.  (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.若S17=102,a11=12,则d=　　　,S20=　　　.  14 3 210 【典例2】　已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得. 解：由题意，知. 把它们代入公式， 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 探究：已知数列的前项和为，其中为常数，且.任取若干组在电子表格中计算的值（下图给出的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.   A B C D 1 1 3 3   2 2 8 5   3 0 15 7   4   24 9   5   35 11   结论：已知数列的前项和为则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列. 证明：当时， 当，. （1）当时，符合， ，此时数列为等差数列，且公差为 （2）当时，不符合， ∴ 此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 知识拓展：等差数列的常用性质 设数列是等差数列，公差为为其前项和，则有如下常用性质： （1）数列也是等差数列，公差为. （2）数列为等差数列为常数）. （3）也成等差数列，公差为 （为中间项）； 证明：， 则 . （4）若项数为奇数（为中间项）； 若项数为偶数，则 ； （5