4.2.1.1 等差数列的概念（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第四章 数列 4.2.1.1 等差数列的概念 1.北京天坛圜丘坛，的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81 . ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48 ② 情景引入 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③ 4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为. ④ 思考：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 1.北京天坛圜丘坛，的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81 . ① 对于①，我们发现 ， 改变表达方式使数列的取值规律更突出了. 换一种写法，就是 . 如果用表示数列①，那么有     . 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 观察数列②~④，它们是否也有这样的取值规律呢？ 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③ 4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息(单位:万元)依次为 . ④ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.例如，数列①的公差. 对于等差数列的概念理解要注意以下五点： （1）等差数列定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项是与它的前一项作差，而不是与后一项作差.这一点要注意，切不可将减数与被减数弄颠倒. （2）在等差数列的定义中强调“同一个常数”，当常数不同时，不是等差数列. （3）公差可正、可负、也可为0，它是一个与无关的常数，因此公差的取值范围为. 一、等差数列的概念 （4）等差数列定义的符号表示为（等差数列的递推公式）： （且）或. （5）等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即是等差数列. （且）是等差数列. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√ ,错误的画×) (1)常数列是等差数列.(　　) (2)等差数列的公差不能为负数. (　　) (3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　) (4)若数列{an}满足an+1-an=1(n>1,n∈N*),则数列{an}是等差数列. (　　) √ × × × 2.判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…; ⑤1,12,13,14,15,…. 解 ①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是. 思考：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得= 所以= , = , = ,…. 于是 + , + =(+ ) + + 2, + =(+ ) + + 3, …… 归纳可得+() (). 当时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为 +() 不完全归纳法 思考：上述推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它 方法吗？如何操作？ 还可以用累加法推导如下： 因为是等差数列，所以 ， ， ， ， ， 等号两边分别相加，得， 所以.