专题强化一 换底公式-2022-2023学年高一数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019必修第一册）

强化专题一　换底公式 【题型目录】 一、换底公式的正用 二、换底公式的逆用 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 四、换底公式的基本变形二：＝logab 五、解对数方程 六、证明对数恒等式 【例题详解】 一、换底公式的正用 1．已知，则下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 2．______．（用数字作答） 3．若，则___________. 4．计算：等于___________. 二、换底公式的逆用 1．计算：＝________. 2．= ________ 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则______; 3．已知，则，则A等于__________． 四、换底公式的基本变形二：＝logab 1．化简____________ 2．已知log1627＝a，则log916＝________. 五、解对数方程 1．方程的解为___________． 2．方程的解为___________. 3．求下列各式中的值： (1)； (2). 4．解方程： (1). (2) 六、证明对数恒等式 1．利用换底公式证明：． 2．设，且，求证： ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化专题一　换底公式 【题型目录】 一、换底公式的正用 二、换底公式的逆用 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 四、换底公式的基本变形二：＝logab 五、解对数方程 六、证明对数恒等式 【例题详解】 一、换底公式的正用 1．已知，则下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数运算法则和换底公式依次化简各个选项即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 2．______．（用数字作答） 【答案】1 【分析】利用对数换底公式及性质计算作答. 【详解】 . 故答案为：1 3．若，则___________. 【答案】 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】解：因为，所以，即，即， 所以； 故答案为： 4．计算：等于___________. 【答案】1 【分析】由对数的定义、对数的换底公式计算． 【详解】. 故答案为：1． 二、换底公式的逆用 1．计算：＝________. 【答案】－ 【详解】原式＝× ＝×log427＝× ＝×＝－. 2．= ________ 【答案】 【分析】根据对数函数换底公式及运算法则，指数运算法则进行计算. 【详解】 故答案为： 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解. 【详解】由得：，则 故选：A 2．已知，则______; 【答案】3 【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值. 【详解】由题设，， 则. 故答案为：3 3．已知，则，则A等于__________． 【答案】 【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A的值. 【详解】∵,∴，. ∴，. 又∵, , 即，∴，. 故答案为： 四、换底公式的基本变形二：＝logab 1．化简____________ 【答案】2 【分析】结合、换底公式化简计算即可 【详解】原式 . 故答案为：2. 2．已知log1627＝a，则log916＝________. 【答案】 【详解】∵log1627＝a，∴＝a， ∴log23＝a，∴log23＝a， ∴log916＝＝log32＝2log32＝2·＝2×＝. 五、解对数方程 1．方程的解为___________． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质有，进而求解即可. 【详解】由且，则，故. 故答案为： 2．方程的解为___________. 【答案】8 【分析】由对数运算法则化方程为．再根据对数函数的性质求解． 【详解】由得， 所以，解得． 故答案为：8． 3．求下列各式中的值： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合对数运算求得的值. （2）结合对数运算求得的值. 【详解】（1），. （2），. 4．解方程： (1). (2) 【答案】(1)或1或；(2)或 【分析】（1）利用换底公式将原方程化为，然后移项通分即可解得方程的根. （2）由，可得，令，化为，解得从而求出. 【详解】(1)因为，所以原方程可化为， 即，， 所以或，解得或1或. (2)， ， ， ， 令，化为解得或， 所以或， 解得或. 六、证明对数恒等式 1．利用换底公式证明：． 【答案】证明见解析 【分析】将已知条件中的对数都转化为以10为底的对数，然后通