4.2.1指数爆炸和指数衰减 课件——2022－2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.2指数函数 4.2.1指数爆炸和指数衰减 新课导入 在上节课中，我们学习了，当x为自变量,而为非零实数时,函数叫作(次)幂函数。那如果让底数为常数，指数为自变量x，则得到一类新的函数,我们把它称作指数函数。其中要满足，比如。 新知讲授 (1)当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸； 把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u,u+T]中，指数函数的值从增长到增长率为，它是一个常量。在经济学或者其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长。 新知讲授 在世界中有很多生动的指数增长过程。 铀核裂变过程中的链式反应是一个重要的实例，在铀核裂变释放巨大能量的同时，还放出两三个中子来。如下图所示，若一个中子打碎一个铀核，产生能量，放出两个中子来；这两个中子又打中另外两个铀核，产生两倍的能量，再放出四个中子来…以此类推 于是核裂变会释放大量的能量，当然还有很多现象，比如说：细胞分裂、生物繁殖、疾病传染、火药爆炸等都可以用指数增长来描述。 新知讲授 (2)反过来，当底数满足0<a<1时，指数函数值随着自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减。 其特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量。 指数衰减的一个有趣应用是，考古学家用自然界中的来测定化石年代，其原理如下：是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行衰变，变成氮，半衰期为5730年。如下图所示： 新知讲授 活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内的比例与大气中的相同，植物枯死后，体内的仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充。 新知讲授 当植物枯死后，遗体内的的含量可以用指数函数，x表示植物枯死后经过的时间，以年为单位；底数是a小于1的正数。于是半衰期为5730年，用数学语言描述是：当自变量增加5730，的函数值减少一半，即化简后得到经过计算器可得。利用这些数据，可以估计植物枯死后经过的时间。 巩固练习 例一、下列函数其中指数函数的个数是( ) (1)(2)(3)(4)(5) 解：根据指数函数的定义,我们知道它必须具备(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3) 的系数是1. 所以只有(3)符合条件，即只有一个。 巩固练习 例二、已知