2.2.3 直线的一般式方-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2．2.3　直线的一般式方程 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 【题型目录】 题型一、直线的一般式方程及辨析 题型二、一般式下直线的平行与垂直的问题 题型三、直线过定点问题 题型一、直线的一般式方程及辨析 1．直线的倾斜角是（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 2．已知直线过点，倾斜角为，则该直线的一般式方程（系数为正）为________. 【答案】 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即； 故答案为： 3．在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题． 已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点，______． (1)求直线AC的一般式方程； (2)求直线BC的一般式方程； (3)求角A的角平分线所在直线的一般式方程． 【分析】先判断出轴，选①：根据斜率的定义数形结合可得AC的倾斜角为60°；选②：直线AC的斜率为可推出得AC的倾斜角为60°，可得直线BC的倾斜角为30°或120°． （1）根据点斜式求解AC的方程，再化成一般式即可； （2）根据点斜式求解BC的方程，再化成一般式即可； （3）数形结合可得角A的角平分线所在直线的倾斜角，再根据点斜式求解，进而化简成一般式即可. 【详解】（1）因为，所以轴． 选①：直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示． 因为A（－1，2），AC的倾斜角为60°，所以直线AC的方程为，其一般式方程为． 选②： 直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示： 因为A（－1，2），AC的斜率为，所以直线AC的方程为， 其一般式方程为． （2）选①：因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°，所以直线BC的方程为， 其一般式方程为． 选②：因为B（－3，2），直线BC的倾斜角为30°或120°，所以直线BC的方程为或， 其一般式方程为或． （3）选①：由（2）可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为， 所以角A的角平分线所在直线的方程为， 其一般式方程为． 选②：由题意可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为或， 所以角A的角平分线所在直线的方程为或， 其一般式方程为或． 4．设直线l的方程为． (1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值； (2)若直线l的倾斜角为，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，列出不等式组，求出m的值即可； （2）由题意可得直线的斜率为1，根据一般式方程求出斜率，建立等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得,解得， 故当时，直线l在x轴上的截距为-3； （2）由题意得，解得， 故当时，直线l的倾斜角为45° 5．已知直线. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值： (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值； （2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）由条件知，且， 在直线l的方程中，令得，令得 ∴，解得：，或， 经检验，，均符合要求. （2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限； 当时，直线/的方程为：. l不通过第四象限，即，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为 题型二、一般式下直线的平行与垂直的问题 6．已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【详解】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要