2.2.1 直线的点斜式方-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 知识点　直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 【题型目录】 题型一、直线的点斜式方程 题型二、直线的斜截式方程 题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用 题型一、直线的点斜式方程 1．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程. 【详解】设线段的中点为，连接， ，则轴，则点，故点， 所以，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为． 故选：D． 2．过点斜率为3的直线的点斜式方程是______ 【答案】 【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解. 【详解】由题意知：斜率为3，点为，故点斜式方程为： 故答案为： 3．若直线l经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 【答案】. 【分析】设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可； 【详解】解：设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，因为， 所以， 又直线经过点， 故所求直线方程为； 4．已知的三个顶点分别为、、． (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的两点式方程． 【答案】(1)的方程为，的方程为；(2) 【分析】（1）求出直线、的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，进而可求得的两点式方程. 【详解】（1）解：，所以，直线的方程为，即， ，所以，直线的方程为，即. （2）解：线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的两点式方程为． 题型二、直线的斜截式方程 5．已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程． 【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2， 所以直线方程为， 故选：C． 6．在x轴上的截距为5，倾斜角为的直线的斜截式方程为______． 【答案】 【分析】由截距得点，倾斜角得斜率，可用点斜式再转为斜截式方程 【详解】x轴上的截距为5，即，倾斜角为，则斜率为， 由点斜式得，则斜截式为. 故答案为： 7．已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为______ 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，且，所以， 所以直线的斜率 又直线在在轴上的截距为4，所以直线方程为. 故答案为：. 8．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)过点，且在y轴上的截距为6； (2)过点，且在x轴上的截距为3． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可知，直线的斜率存在，在y轴上的截距为6，即可设直线方程：，代入点，解得即可； （2）由题意可知，直线的斜率不为，在轴上的截距为，即可设直线方程：，代入点，解得即可； 【详解】(1)由题意可知，直线的斜率存在且过点，则设直线的方程为：， 又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：， 故所求直线方程为：. (2)由题意可知，直线的斜不为且过点，则设直线的方程为：， 又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：， 故所求直线方程为：. 题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用 9．(1) 求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点； (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【详解】(1)证明　将直线方程变形为y－2＝a(x－3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． (2)解　由题意可知，＝2a－1，＝4， ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求当取得最小值时直线l的方程． 【答案】(1)6，；(2) 【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程； （2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程． 【详解】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交， ∴直线l的斜率， 则设直