2.1.1 倾斜角与斜率-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第二章《直线和圆的方程》 2.1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【题型目录】 题型一、直线的倾斜角 题型二、直线的斜率 题型三、倾斜角和斜率的应用 题型一、直线的倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角的定义直接求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角正切值为1，所以倾斜角为. 故选：A. 2．直线与直线所成的锐角为，则直线的倾斜角为______． 【答案】60°或120°． 【分析】根据直线倾斜角的概念数形结合即可求解． 【详解】如图， 直线的倾斜角为60°或120°﹒ 故答案为：60°或120°﹒ 3．直线l 经过点（﹣1，0），倾斜角为150°，若将直线l绕点（﹣1，0）逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的倾斜角为 __，斜率为 __． 【答案】     30°     【分析】结合图象可求得旋转后的倾斜角，由斜率与倾斜角的关系即可求得旋转后的斜率． 【详解】解：如图所示， 因为直线l的倾斜角为150°， 所以绕点（﹣1，0）逆时针旋转60°后， 得到直线的倾斜角α＝（150°+60°）﹣180°＝30°， 斜率k＝tanα＝tan30°． 故答案为：30°；． 题型二、直线的斜率 4．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 又， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故选：C 5．如图，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【详解】由斜率的定义知，. 故选：D. 6．对于下列选项中错误的是（     ） A．若是直线的倾斜角，则 B．若是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论． 【详解】解：对于A：是直线的倾斜角，则，故A正确； 对于B：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B正确； 对于C、D：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C正确；D错误． 故选：D 7．若直线k的斜率满足，则该直线的倾斜角α的范围是______． 【答案】 【分析】根据斜率范围得到，数形结合求出直线的倾斜角α的范围. 【详解】根据，得到， 结合正切的函数图象可得：. 故答案为： 题型三、倾斜角和斜率的应用 8．已知，，三点. （1）求直线和的斜率； （2）若点在线段(包括端点)上移动，求直线的斜率的变化范围. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用公式可求两条直线的斜率. （2）在坐标平面中画出线段，根据图形可求直线的斜率的变化范围. 【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率. （2）如图所示，当点由点运动到点时，直线的斜率由增大到，所以直线的斜率的变化范围是. 【点睛】本题考查斜率的计算，注意考虑斜率的取值范围时关注动直线是否垂直于轴，这会影响斜率的范围的表达形式，本题属于基础题. 9．点在函数的图像上，当时，求的取值范围. 【答案】 【分析】由的几何意义是过两点的直线的斜率且点M在线段上运动，可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值. 【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，点M在线段上运动，易知当时，，此时与两项连线的斜率最大，为； 当时，，此时与两点连线的斜率最小，为.,即的取值范围为 【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角与斜率的关系，数形结合的思想，属于中档题. 1．直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角的概念求解 【详解】，即，直线的倾斜角为． 故选：B 2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的