专题12 圆锥曲线中的最值问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题12 圆锥曲线中的最值问题 一、真题剖析 【2021年乙卷理科】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以椭圆为载体，考查考生对直线与抛物线位置关系的综合性应用，侧重于对最值的考查。 【必备知识】本题考查直线与抛物线位置关系、面积最值的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【解析】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以， 其中，即． 当时，． 二、题型选讲 题型一 与线段有关的最值问题 例1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围. 【解析】(1)解：由题意知，椭圆标准方程为. (2) 解：设直线的方程为，其中，， ，， ， ，， 若，则，， 若，则， 令，，， 因为在单调递减， 所以 综上：的取值范围为. 变式1、（2022·山东青岛·高三期末）已知椭圆离心率为，短轴长为，过的直线与椭圆C相切于第一象限的T点. (1)求椭圆C的方程和T点坐标； (2)设O为坐标原点，直线平行于直线OT，与椭圆C交于不同两点A，B，且与直线l交于点P.证明：为定值. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件列式计算求出椭圆C的方程，再设出直线方程，与椭圆C的方程联立，借助判别式计算作答. (2)由(1)设出直线方程，求出点P的坐标，联立直线与椭圆C的方程，借助韦达定理计算作答. (1) 令椭圆C的半焦距为c，依题意，，而，解得， 所以的方程为； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去y得：， 由，解得：或， 当时，，解得，点，当时，，解得，不符合题意， 所以点坐标为. (2) 由(1)知，直线的斜率，直线的方程为， 设的方程为，， 由解得：，即点，则， 由消去y得：，则， ， 同理， ， 所以为定值. 题型二 与面积有关的最值问题 例2、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆经过点M，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，过定点且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线的交点分别为P，Q，求面积的最小值. 【解析】【分析】 （1）把点代入椭圆方程，然后结合离心率公式即可求出椭圆的标准方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立消元写韦达，然后表示出直线，的方程，进而求得，，求得，结合韦达定理即可求解. (1)由题意知，，解得， 所以椭圆的标准方程为． (2)设过点的直线方程为， 代入椭圆的方程，整理得， 因为， 设，，则，①， 由（1）得，则直线的方程为， 令，得，同理可得 将，代入， 把①式代入，整理得， 由，知 所以面积的最小值为 变式1、（2022·湖北·高三期末）已知点为抛物线的焦点，如图，过点的直线交抛物线于两点（点在轴右侧），点在抛物线上，直线交轴的正半轴于点且，设直线与抛物线相切于点，直线与轴相交于点． (1)设点，； ①求证：； ②求证：直线与平行； (2)求使面积取最小值时点的坐标． 【解析】 【分析】 （1）由题易知抛物线的方程