4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的实际应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的实际应用 课程标准 核心素养目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 掌握利用等比数列前n项和求解几何和增长率问题．(数学建模，数学运算) [对应学生用书P26] 知识点一 等比数列前n项和在几何中的应用 把一个边长为1的正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)如图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． (1)73　(2)　1－() n　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.故(1)图③中共挖掉了＝73个正方形； (2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×()2＋8×()4＋82×()6＋…＋8n－1×()2n＝＝1－()n. [探究] 本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－()n，由于一直继续下去，即n无限增大时，()n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． 作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(1－)π B．(1－)π C．(1－)π D．3(1－)π B　解析：设第n个正三角形的内切圆半径为an，因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，所以a1＝×3×tan 30°＝，a2＝a1，a3＝a2，…，an＝an－1，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，所以an＝×()n－1，则a＝×()n－1，设前n个内切圆的面积和为Sn，则Sn＝πa＋πa＋…＋πa＝[()0＋()1＋()2＋()n－1]＝×＝[1－()n]π＝(1－)π，故选B. 知识点二 等比数列前n项和在增长率中的应用 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2022年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2032年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解：设从2022年年初到2032年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10). 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．所以2032年初这个家庭应取出的钱数为S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元). [探究1] 若将题中的复利改为单利，结果是多少？ 解：a1＝a(1＋10p)，a2＝a(1＋9p)，a3＝a(1＋8p)，…，a10＝a(1＋p)， S10＝a(1＋10p)＋a(1＋9p)＋…＋a(1＋p)＝10a＋(10×1＋)×ap＝10a＋55ap. [探究2] 若将复利改为单利并且按规定，存款利息要纳税20%，则结果为多少？ 解：要将复利改为单利由“探究1”知结果为10a＋55ap. 由存款利息按20%纳税，则最后结果为10a＋55ap×(1－20%)＝10a＋44ap. 解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． (3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查． [对应学生用书P27] 1．某森林原有木材量为a m3，按每年以25%的增长，5年后，这片森林共有木材量为(　　) A．a(1＋25%)5 B．a(1＋25%)4 C．4a[()5－1] D． a(1＋25%)6 A　解析：森林中原有木材量为a，一年后为a(1＋25%)，两年后为a(1＋25%)2，…，五年后为a(1＋25%)5. 2．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 A　解析：小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×()8＝299≈300(米). 3．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产