4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 课程标准 核心素养目标 1．探索并掌握等比数列前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．熟练掌握等比数列前n项和的基本运算．(数学运算) 2．掌握等比数列的相关性质及应用．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P23] 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 1．一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 2．两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． [微练1]设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10＝(　　) A．210＋2 B．29－2 C．210－2 D．211－2 D　解析：等比数列的公比q＝＝＝2，所以前10项和S10＝＝＝211－2，故选D. [微练2]对于等比数列{an}，a1＝5，q＝2，Sn＝35，则an＝________． 20　解析：由Sn＝，得35＝，解得n＝3，故a3＝5×22＝20. 2．等比数列的前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0). (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． [微练3] 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(　　) A．－4 B．－1 C．0 D．1 B　解析：设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝48.∵a＝a1·a3，即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1. [微练4]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝__________． 12　解析：设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12. [对应学生用书P24] 知识点一 等比数列前n项和的基本运算 (1)(2022·重庆月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　) A．－ B． C． D． (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 (1)C　(2)B　解析：(1)设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又∵a2＝－8，a7＝， ∴q＝－，故a1＝16， 又Sn＝， 即S6＝＝＝.故选C. (2)方法一　设等比数列{an}的公比为q，则由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为＝＝＝＝2，所以q＝2， 所以＝＝＝2－21－n，故选B. (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”). (2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论． 在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：方法一　∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.① 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a12n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二　由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. 知识点二 等比数列前n项和性质的应用 (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________． (