4.3 习题课 数列求和（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

习题课　数列求和 课程标准 核心素养目标 掌握数列求和的方法 1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式．(数学运算) 2．掌握分组求和、并项求和等数列求和方法．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等数列求和方法．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P27] 知识点一 分组转化求和法 已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＋()2＋…＋()n－1＝[1－()n]. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(1－)＋[1－()2]＋…＋[1－()n]＝n－[1－()n]＝(2n－1)＋()n－1. 分组法求数列前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和． 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 C　解析：∵an＝2n＋2n－1，设bn＝2n，cn＝2n－1，易知{bn}为等比数列，{cn}为等差数列，且b1＝2，q＝2，c1＝1. 则数列{an}的前n项和＋＝2n＋1－2＋n2. 知识点二 错位相减法的应用 已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设数列{an}的公差为d， 则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12. 又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n. (2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得 Sn＝2×3＋4×32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，① 3Sn＝2×32＋4×33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1.② ①－②得－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1＝3(3n－1)－2n·3n＋1， 所以Sn＝＋n·3n＋1. 应用错位相减法的注意事项 (1)利用错位相减法时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式． (2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况． (2022·湖北期中)设数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n，则{nan}的前n项和为(　　) A．(n－1)2n－1 B．(n－1)2n＋1 C．(n＋1)2n＋1－1 D．(n＋1)2n＋1＋1 B　解析：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝n， 则当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n－1，两式相减得：an＝1，∴an＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1，满足an＝2n－1， 综上所述：an＝2n－1，nan＝n·2n－1， 设数列{nan}的前n项和为Sn， ∴Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1， 2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， ∴－Sn＝1－n·2n＋(21＋22＋…＋2n－1)＝1－n·2n＋＝(1－n)·2n－1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1. 知识点三 裂项相消求和法 正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)， 由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，化简得d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍去)， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2. (2)因为Sn＝＝＝n2＋3n， 所以bn＝＝＝＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝. 对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项． 等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋. 解：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴＝＝＝(－)， ∴＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝－. 知识点四 并项求和法 已知数列－1，4，－7，10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn. 解：当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)， Sn＝