4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 课程标准 核心素养目标 1．了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质．(逻辑推理) 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P10] 1．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d(揭示任意两项之间的关系) (2)项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 在求解等差数列问题时，注意利用结论：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，提高解题速度．因这个结论来源于通项公式，故直接用通项公式也可做出，但计算量较大． [微练1]如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. [微练2]等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 B　解析：由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 2．等差数列的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an＋an－k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列 解题中注意充分利用等差数列的性质，结合已知条件，观察已知与求解间的联系，寻找适当的方法． [对应学生用书P10] 知识点一 等差数列的实际应用 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元. 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).即需要支付车费23.2元． [探究] 在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费？ 解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元).即需要支付车费29.2元． (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　) A． 升 B． 升　　 C． 升 D． 升 A　解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A. 知识点二 等差数列性质的应用 (1)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　) A．－12 B．－13 C．12 D．13 (2)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝(　　) A．33 B．16 C．13 D．12 (1)B　(2)C　解析：(1)方法一　设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，故选B. 方法二　由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，故选B. (2)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a5＝14，所以a2＋a6＝14，又a2a6＝33，所以或当时，d＝＝2，所以a1a7＝