4.2.1 第1课时 等差数列的概念（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 课程标准 核心素养目标 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列通项公式的意义． 1．理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P7] 1．等差数列的定义 (1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． (2)符号表示：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)或 an＋1－an＝d(n∈N*)，其中d为常数． (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列． (2)满足的关系式：2A＝a＋b． (3)结论：那么A叫做a与b的等差中项． [微练1]x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于(　　) A．0 B．10 C．20 D．不确定 C　解析：因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋ (y－1)＝2×10，所以x＋y＝20. 3．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． 等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列． [微练2]已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　解析：an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n. [微练3]若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a B． C． D． C　解析：由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝. [对应学生用书P8] 知识点一 等差数列的概念 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中an＝3n＋2； (2)在数列{an}中an＝n2＋n. 解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*).由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数． 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解：数列{bn}是等差数列． ∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*). ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义，知数列{bn}是等差数列． 知识点二 等差中项 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. 又∵a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又∵c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). (1)若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝(　　) A．26 B．29 C．39 D．52 C　解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. (2)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝________． 　解析：由数列为等差数列，则有＋＝，可解得a5＝. 知识点三 等差数列通项公式的应用