4.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　数列的通项公式与递推公式 课程标准 核心素养目标 1．了解数列的递推公式． 2．了解数列的前n项和概念及其简单应用． 1．会根据递推公式确定数列的项．(逻辑推理、数学运算) 2．由数列前n项和求其通项公式．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P4] 1．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 数列递推公式与通项公式之间的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出数列的前几项，进而可归纳猜想出数列的通项公式 2．数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． (2)数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (3)an与Sn的关系：an＝ [对应学生用书P5] 知识点一 判定数列中项的问题 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项； (2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题设条件，知an＝＋2n. 故a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55. (2)假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.故253是这个数列的第121项． 假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，故153不是这个数列中的项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解，则该数不是数列{an}中的项． 数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　) A．第127项 B．第128项 C．第129项 D．第130项 B　解析：把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，，；第四组四项：，，，；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项． 知识点二 数列的递推公式 考向一：由递推公式求数列的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝(n≥1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为1，2，3，5，8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为，，，. 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 已知数列{an}满足 an＋1＝若a1＝， 则a2 017＝________． 　解析：计算得a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 017＝672×3＋1，所以a2 017＝a1＝. 考向二：由递推公式求数列通项公式 题点一：累加法求通项公式 已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求数列的通项公式an. 解：∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…；an－an－1＝(n≥2). 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－. ∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2). 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－. 题点二：累乘法求通项公式 设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求数列的通项公式an. 解：∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝， an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. 又∵当n＝1时，a1＝1，符合上式，