4.1 第1课时 数列的概念与表示（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 课程标准 核心素养目标 1．通过实例，了解数列的概念和表示方法． 2．了解数列是一种特殊函数． 1．理解数列概念与表示方法．(数学抽象、逻辑推理) 2．会由数列的前几项归纳数列通项公式．(逻辑推理) [对应学生用书P1] 1．数列的概念 (1)数列的有关概念 数列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第n项an叫数列的通项 (2)数列的表示 ①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； ②字母表示：上面数列也可记为{an}． 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1，2，3，4，5中第1项为a1＝1，其项数是1. 2．数列与函数 (1)数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． (2)数列的表示方法 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示． 数列是以正整数为自变量的特殊函数，在解决数列问题时，要善于利用函数知识、函数观点、函数的思想方法． 3．数列的分类 类别 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 按项的变化趋势 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． [微练1]数列2，3，4，5，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝n＋1，n∈N* C．an＝n＋2，n∈N* D．an＝2n，n∈N* B　解析：这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N*. [微练2]下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项(　　) A．380 B．392　 C．321 D．232 A　解析：当n＝19时，n(n＋1)＝380. [对应学生用书P2] 知识点一 数列的概念与分类 (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 (2)下列各组数能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． ①8，8，8，8； ②－3，－1，1，x，5，7，y，11； ③当n取1，2，3，4，…时，(－1)n的值排成的一列数． (1)ACD　解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． (2)解：①能构成数列，且构成的是有穷数列． ②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1，1，…. 数列及其分类的判定方法 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； (2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． 下列说法正确的是(　　) A．1，2，3，4，…，n是无穷数列 B．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列 C．同一个数在数列中不能重复出现 D．数列{2n＋1}的第6项是13 D　解析： A错误，数列1，2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13. 知识点二 数列的函数特征 已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列{an}的前4项； (2)画出数列{an}的图象，并判断其增减性． 解：(1)由于an＝，令n＝1，2，3，4，可得此数列的前4项分别是a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2. (2)此数列的图象如图所示， 由图象可知，该数列在1≤n≤4，n∈N*时是递减的，在n≥5，n∈N*时也是递减的． [探究] 本例若将此数列的通项公式改为an＝(n∈N*)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还