第四章　一元函数的导数及其应用-（教师word）2022新教材新高考数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计

第四章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 课程 标准 1.了解导数概念的实际背景。 2．理解导数的几何意义。 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数。 教材回扣　基础自测 自主学习·知识积淀 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 。 (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。 (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数。 2．导数公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)。 ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)。 ③′＝(g(x)≠0)。 (3)复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 1．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率。(×) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x。(×) (3)求 f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)。(×) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点。(√) 2．下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x 解析　′＝x′＋′＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x。故选B。 答案　B 3．记函数f(x)的导函数是f′(x)。若f(x)＝－cos x，则f′＝(　　) A．－ B． C． D． 解析　因为f′(x)＝＋sin x，所以f′＝＋＝。故选B。 答案　B 4．设函数f(x)＝x，则 ＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 解析　根据题意， ＝f′(1)，又由f(x)＝x，则f′(x)＝1，则有f′(1)＝1，则有 ＝1。故选B。 答案　B 5．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝________。 解析　因为函数f(x)＝，所以f′(x)＝，若f′(1)＝＝，所以＝，则a＝1。 答案　1 考点例析　对点微练 互动课堂·考向探究 考向一 导数的概念 【例1】　利用导数定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数。 解　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝。 导数定义探究 1．判断一个函数在某点是否可导，就是判断当Δx→0时该函数的平均变化率的极限是否存在。 2．利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值＝，再求极限y′＝ 。 3．导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种。 4．导数定义 ＝f′(x0)，即 ＝f′(x0)。 【变式训练】　(1)(2021·威宁县期末)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f′(1)＝4，则 ＝(　　) A．4 B．8 C．－8 D．－2 解析　根据题意， ＝(－2)× ＝(－2)×f′(1)＝－8。故选C。 答案　C (2)(2021·珠海期末)已知函数f(x)满足f′(2)＝3，则 ＝(　　) A． B． C．6 D．3 解析　 ＝2× ＝