重难点05 辅助圆三种模型-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）

重难点05 辅助圆三种模型 ( 能力拓展 ) 题型一：定点定长构造辅助圆 一．解答题（共3小题） 1．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　45°或135　°． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数． 小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）【问题拓展】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长． 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC， （3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝4；则在Rt△AOF中，易得AF＝2，故AD＝2+4． 【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC， ∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上， ∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°， 同理，当点D在弧BC上时，∠BDC＝135°． 故答案是：45°或135； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝25°， ∴∠BAC＝25°， （3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC． ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8， ∴BO＝CO＝4． ∵OE⊥BC，O为圆心， ∴BE＝BC＝4， ∴DE＝OF＝2． 在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4， ∴OE＝DF＝4． 在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2， ∴AF＝2， ∴AD＝2+4． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 2．（2022•白云区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A，B两点，OA＜OB，AB＝4．其顶点C的横坐标为﹣1． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当△DEF面积等于4时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长． 【分析】（1）利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）证明△CGA和△DEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF＝4，再求得直线AC的解析式为y＝x﹣1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可； （3）先求得∠BDF＝45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A，点B两点关于直线x＝﹣1对称，AB＝4， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， 代入y＝ax2+bx﹣得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣． （2）如图1所示： ∵DF∥y轴∥GC， ∴∠GCA＝∠DFE， ∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣2， ∴顶点C（﹣1，﹣2）， ∵A（1，0）， ∴AG＝2，CG＝2， ∴△CGA为等腰直角三角形， ∴∠GCA＝∠DFE＝45°， ∵DE⊥AC， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴DE＝EF，DF＝DE， ∵S△DEF＝＝4， ∴DE＝2， ∴DF＝＝4， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x﹣1， 设点D（x，x2+x﹣），则F（x，x﹣