第一章 空间向量与立体几何 章末回顾与提升（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

(1)a＝λb　(2)p＝xa＋yb　(3)|a||b|cos〈a，b〉　(4)a·b＝0　(5)|a|2　(6)p＝xa＋yb＋zc　(7)xi＋yj＋zk　(8)(x，y，z)　(9)(λa1，λa2，λa3)　(10)a1b1＋a2b2＋a3b3　(11)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，λ∈R　(12)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(13)　(14)u1∥u2　(15)u1⊥u2　(16)u⊥n　(17)u∥n　(18)n1∥n2　(19)n1⊥n2　(20)　(21)　(22)|cos〈u，v〉|＝　(23)|cos〈u，n〉|＝　(24)|cos〈n1，n2〉|＝ 一、空间向量的运算 1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 2．空间向量的数量积的定义表达式为a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，其他变式如夹角公式cos〈a，b〉＝，模的公式a2＝|a|2等都是解决立体几何问题的重要公式． 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论： ①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0. 其中正确结论的序号是________． 答案：③④ 解析：由题意可推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确；其余三个都不正确． [训练1] 已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量所成角的余弦值为________． 答案：－ 解析：由已知得＝(＋)，＝－＝－，因此||＝|＋|＝＝，||＝|－|＝＝. 又因为·＝(＋)·(－)＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量与向量所成角的余弦值cos〈，〉＝＝＝－. 二、空间向量的坐标运算 熟记空间向量的坐标运算公式 设a＝(x1, y1, z1)，b＝(x2, y2, z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2, y1±y2, z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝. (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则||＝. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算． (多选)(2021·辽宁葫芦岛市高二期末)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．17 B．－17 C．－1 D．1 AC　解析：由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，|a|＝＝，|b|＝＝， ∴cos 120°＝＝＝－，解得λ＝17或λ＝－1. [训练2] 已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝________． 答案：(0，6，－20) 解析：由b＝x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，∴x＝(0，6，－20)． [训练3] 已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值． 解：(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴解得 ∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)． (2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝， ∴cos〈a＋c，b＋c〉＝＝. 三、利用空间向量证明平行、垂直问题 证明平行、垂直问题，除了应用传统的证明平行、垂直的判定定理外，还可以利用向量共线、平面的法向量及向量的数量积进行证明． 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． (1)证明：以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)， ∵＝(0，1，1)， 平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)，