1.4.2 第2课时 用空间向量研究空间角问题（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　用空间向量研究空间角问题 1．异面直线所成的角 若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝||＝. 2．直线与平面所成的角 图示 公式 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝||＝ 3.平面与平面所成的角 定义 平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角 图示 公式 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝||＝ [微练1]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　D　) A． B． C． D． [微练2]已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　A　) A．30° B．60° C．120° D．150° [微练3]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°． 知识点一　求异面直线所成的角 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B．　 C． D． C　解析：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由已知条件知B1(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(1，0，0)，A(－1，，1)，则＝(1，0，－1)，＝(1，－，－1)． 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为. 求异面直线所成角的方法与步骤 (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)向量法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角． 如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解：因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)．在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，故V(0，0，)． 所以＝(－2，0，0)，＝(1，1，－)． 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. 知识点二　求直线与平面所成的角 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成的角． (1)证明：如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，M(1，，1)． ∵·＝(2，0，－2)·(1，－，1)＝0， ∴⊥，∴PB⊥DM. (2)解：∵·＝(2，0，－2)·(0，2，0)＝0， ∴⊥，∴PB⊥AD. 又PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN. 即为平面ADMN的一个法向量． ∵cos〈， 〉＝＝＝， 设直线BD和平面ADMN所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos〈， 〉|＝， ∴BD与平面ADMN所成的角为. 用向量法求直线与平面所成角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量u； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝||＝. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示． (2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，所以AH＝10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，