1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 课程标准 核心素养目标 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题， 2．能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1．会求空间中点到直线的距离以及点到平面或直线到平面的距离．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 2．会用向量求异面直线、直线与平面所成的角，会求平面与平面的夹角．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 第1课时　用空间向量研究距离问题 空间距离的向量求法 分类 图示 向量求法 点线距 u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，在直线l上的投影向量为，则PQ＝ 点面距 设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α， PQ⊥α，在直线l上的投影向量为，则P点到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝ [微练1]已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(　D　) A．10 B．3 C． D． [微练2]已知向量n＝(6，3，4)和直线l垂直，点A(2，0，2)在直线l上，则点P(－4，0，2)到直线l的距离为． [微练3]已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为. 知识点一　点到直线的距离 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求点M到直线AD1的距离． 解：如题图，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，M(0，，)，＝(－a，0，a)，＝(0，－，)， 直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，||2＝a2，·s＝a， 所以点M到直线AD1的距离d＝＝＝a. [探究] (变条件)将本例条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解：如本例题图，则A(a，0，0)，D1(0，0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，根式内的二次函数在m＝－＝时取最小值×()2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a. 向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：点M可选直线l便于计算)，计算点M与直线l外的点N的方向向量. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝. 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解：方法一　建立如图所示的空间直角坐标系， A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)． ∵＝(－2，3，0)，⊥，∥， ∴解得∴D(，，0)， ∴||＝＝. 即O1到直线AC的距离为. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴＝(－2，0，2)，＝(－2，3，0)，所以·＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4，所以＝，所以O1到直线AC的距离d＝＝. 知识点二　点到平面或直线到平面的距离 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，则＝(1，，－1)，＝(，1，－1)． 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0， 所以则令y＝2，则n＝(2，2，3)， 又＝(0，0，1)， 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝. (2)由于E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF， 所以AC∥平面PEF，所以A点到平面PEF的距离即为直线AC到平面PEF的距离． 由于＝(0，，0)，又由(1)知平面PEF的法向量为n＝(2，2，3)， 所以点A到平面PEF的距离为＝＝. 即直线AC到平面PEF的距离为. 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不