1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 课程标准 核心素养目标 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理，解决直线、平面平行与垂直的有关问题. 1．会求平面的法向量．(数学抽象、数学运算) 2．会利用空间向量证明空间平行、垂直关系．(逻辑推理、数学运算、直观想象) 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点的位置向量：在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量． (2)空间直线的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a，代入①式，得＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x, y，使＝＋x＋y. 把上式称为空间平面ABC的向量表示式． (4)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量． 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． [微练1]若n＝(2，－3, 1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) D　解析：问题即求与n共线的一个向量，即n＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)． 2．空间中直线、平面的平行 (1)直线与直线平行：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． (2)直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． (3)平面与平面平行：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． [微练2]已知a＝(1，2，)，b＝(，x，y)分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝3，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝3，y＝ D　解析：因为l1∥l2，所以＝＝，所以x＝3，y＝. [微练3]若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－，，－1)，n＝(，－1，3)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 D　解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合． 3．空间中直线、平面的垂直 (1)直线与直线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别是u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ u1·u2＝0． (2)直线与平面垂直：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． (3)平面与平面垂直：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． [微练4]已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为垂直． [微练5]若直线的方向向量为u1＝(2，，1)，平面的法向量为u2＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时，z＝. 知识点一　求平面的法向量 已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量． 解：因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， 所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2，1，0)． 利用待定系数法求法向量的步骤 如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． 解：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，C(，1，0)，D1(0，3，3)，所以＝(0，3，3)，＝(，1，0)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量． 则即令x＝1， 则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)． 知识点二　利用空间向量证明平行关系 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)