1.3.1 空间直角坐标系&1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课程标准 核心素养目标 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置． 3．掌握空间向量的坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示． 5．借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空间两点间的距离公式. 1．会求空间点、向量的坐标．(数学运算、直观想象) 2．能熟练进行空间向量坐标运算．(数学运算) 3．会用空间向量解决平行、垂直问题．(数学运算、直观想象、逻辑推理) 4．会用空间向量解决夹角、距离问题．(数学运算、直观想象、逻辑推理) 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． (3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系． (4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． (5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)． [微练1]已知A(2，3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7, －6)，则λ，μ，ν的值为(　D　) A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5 C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7 [微练2]设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是(3，2，－1)，(－2，4，2)． 2．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量运算 坐标表示 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa (λa1，λa2，λa3)，λ∈R a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，λ∈R(b≠0) a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a| cos〈a，b〉 [微练3]判断正误 (1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．(　×　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝.(　×　) (3)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝＝.(　√　) [微练4](多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论错误的是(　ABC　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 [微练5]与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是(　D　) A．(2，0，－4) B．(3，6，－12) C．(1，1，－2) D．(0，，－1) [微练6]已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝1． [微练7]已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是π． 3．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)||＝. 知识点一　空间点、向量的坐标表示 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以{， ， }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标