1.2 空间向量基本定理（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 课程标准 核心素养目标 了解空间向量基本定理及其意义. 1．会判断基底向量．(数学抽象) 2．掌握空间向量的正交分解． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 1．空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． (2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [微练1]判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　×　) (2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．(　√　) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　√　) [微练2]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， C　解析：由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底. 知识点一　基底的判断 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立． ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　解析：如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以②③④可以作为基底． 知识点二　用基底表示空间向量 如图，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量. 解：＝－，∵＝＝×(＋)＝(b＋c)， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝a＋(b＋c)， ∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a， 即＝－a. 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 如图所示，正方体OABC-O′A′B′C′，且＝a，＝b, ＝c. (1)用a，b，c表示向量，； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. ＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a. (2)方法一　连接OG，OH(图略)，则＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)． 方法二　连接O′C(图略)，则＝＝(－)＝(c－b)． 知识点三　空间向量基本定理的应用 如图，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． (1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)∵＝－a＋c， ∴||＝|a|，||