1.1.2 空间向量的数量积运算（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 课程标准 核心素养目标 1．掌握空间向量的数量积． 2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 1．会求空间向量的夹角．(数学抽象) 2．会用空间向量的数量积的定义、性质、运算律进行数量积运算．(数学抽象、数学运算) 3．会求空间向量的投影．(数学抽象、数学运算) 4．能用数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(逻辑推理、数学运算) 1．空间向量的夹角 (1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：〈a，b〉∈[0,π]．特别地，当〈a，b〉＝0时，两向量a，b同向共线；当〈a，b〉＝π时，两向量a，b反向共线．所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量a，b互相垂直，记作a⊥b． [微练1]判断正误 (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　×　) (2)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．(　×　) [微练2]在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　A　) A．与 B．与 C．与 D．与 2．空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a⊥b⇔a·b＝0；a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2＝a2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝b·a(交换律) (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) [微练3]已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　A　) A．－2 B．－1 C．±1 D．2 [微练4]已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝． 3．向量的投影 (1)向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影(如图(2))． (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 知识点一　空间向量的数量积运算 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 解：(1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： ①·；②·. (1)A　解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. (2)解：如图，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. ①·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. ②·＝(＋)·(＋)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 知识点二　利用数量积求向量的夹角和模(线段的长度) 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求与夹角的余弦值． 解：(1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ∵||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝， 即与夹角的余弦值为. 1．求两个非零向量夹角的两种