2.1.1 等式与不等式（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．1　相等关系与不等关系 2．1.1　等式与不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等式性质和不等式性质． 2.掌握等式性质和不等式性质的简单应用． 　　通过不等式性质的应用，进一步增强逻辑推理的核心素养． 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也成立．即a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b． 即a>b⇔b<A． 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c． 推论1　如果a＋b>c，那么a>c－b. 推论2　如果a>b，c>d.那么a＋c>b＋d． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0， 那么ac<bc． 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4　如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N＋). 性质5　如果a>b>0，那么>，(n∈N＋). 性质6　如果a>b，且ab>0，那么<. 如果a>b，且ab<0，那么>. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立．(×) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c.(√) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(×) (4)a>b⇔a2>b2.(×) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　　　 B．T >40 C．T≤40 D．T ≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.] 3．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是(　　) A．< B．< C．a2<b2 D．|a|>|b| A　[A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．] 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则(　　) A．ad＞bc B．ac＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 答案　D 5．当x>2时，x2与2x的大小关系为________． x2>2x　[x2－2x＝x(x－2)，因为x>2，故x(x－2)>0，即x2>2x.] 已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝＋≥＞0， 又∵x＞1，∴(x－1)(x2－x＋1)＞0， 即x3－1＞2x2－2x. [方法总结]　作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． (3)在遇到无理数(式)比较大小时，为方便起见可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，可先乘方再作比较． [训练1]　(1)设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 解　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)(－2xy). 由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0. 所以(x－y)(－2xy)＞0， 即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). (2)若a>b>0，试比较 与 －的大小． 解　()2－(－)2＝a－b－(a＋b－2) ＝2－2b＝2(－)， ∵a>b>0，∴－>0，＞0，＞0. ∴2(－)>0.∴()2>(－)2. ∴>－. 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0.∵a>b，∴a>0且b<0. 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B为假命题． 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题．] [方法总结]　运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二