1.2.2 充分条件和必要条件（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．2.2　充分条件和必要条件 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 　　通过对充分条件与必要条件的学习与运用，强化逻辑推理、数学抽象的核心素养． 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⇒q pq p⇔q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题．(√) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q．(√) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．(√) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(√) (5)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．(√) (6)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(√) 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件　　　　　　　 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 答案　A 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.] 4．下列各题中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①p：x>0，y>0，q：xy>0； ②p：a>b，q：a＋c>b＋c. ②　[在①中，p⇒q，qp，所以①中p不是q的充要条件，在②中，p⇔q，所以②中p是q的充要条件．] 探究一　用充分条件、必要条件的语言描述命题 (1)将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述： ①平行四边形的对角线互相平分； ②菱形的对角线互相平分且垂直． 解　①“平行四边形的对角线互相平分”可表述为“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”，所以“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件； ②“菱形的对角线互相平分且垂直”可表述为“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相平分且垂直”，所以“对角线互相平分且垂直”是“四边形是菱形”的必要条件． (2)用充分条件的语言表述下面的命题： ①若两个三角形全等，则它们的面积相等； ②若点C是线段AB垂直平分线上的点，则AC＝BC. 解　①“两个三角形全等”是“它们的面积相等”的充分条件； ②“点C是线段AB垂直平分线上的点”是“AC＝BC”的充分条件． [方法总结]　解答此类问题的关键是弄清性质定理和判定定理中条件和结论的关系. 事实上，判定定理给出了结论成立的充分条件，而性质定理给出了结论成立的必要条件． [训练1]　用充分条件或必要条件的语言表述下面的命题： (1)若a>b，则a＋c>b＋c； (2)若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等； (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 解　(1)“a>b”是“a＋c>b＋c”的充分条件；“a＋c>b＋c”是“a>b”的必要条件． (2)“两个三角形的对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件；“这两个三角形全等”是“两个三角形的对应角相等”的充分条件． (3)“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可表述为“若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形”，所以“四边形的两组对边分别平行”是“这个四边形是平行四边形”的充分条件；“这个四边形是平行四边形”是“四边形的两组对边分别平行”的必要条件． 在下列各题中，判断p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除． (2)p：x>1，q：x2>1. (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，qp，∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，qp，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵pq，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即pq. 当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.，∴p是q的必要不充分条件． [方法总结]　充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件p和结论q：分清