1.1.2 子集和补集（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1.1.2　子集和补集 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解子集、真子集、空集的概念． 2.能用符号和Venn图表示集合间的关系． 3.在具体情境中，了解全集的含义． 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 　　通过对子集，补集的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．子集 (1)如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A．记作A⊆B(或B⊇A).读作“A包含于B”，(或“B包含A”). (2)若A包含于B，则称A是B的一个子集． 2．子集的性质 (1)每个集合都是它自己的子集． (2)空集合包含于任一集合，是任一集合的子集． 3．集合相等 如果A⊆B并且B⊆A就说两个集合相等，记作A＝B． 4．真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作A B(BA)，读作A真包含于B(B真包含A). 5．如图，大圆和小圆分别表示两个集合，小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集．这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图). 1．全集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集). 2．补集 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的集合叫作A的补集，记作∁UA． 即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，其韦恩图．表示如图 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集．(√) (2)若A＝B，则A⊆B或B⊆A．(√) (3)空集是任何集合的真子集．(×) 2．(多选题)下列关系中正确的是(　　) A．1∈{0，1，2}　　　　　　　 B．{1}∈{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}＝{2，0，1} ACD　[选项B应该改为{1}{0，1，2}才正确．] 3．已知全集I＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则∁IA＝(　　) A．{1，3，5} B．{2} C．{4} D．{2，4} D　[∁IA＝{2，4}．] 4．设a∈R，若集合{2, 9}＝{1－a, 9}，则a＝________． －1　[因为1－a＝2，所以a＝－1.] 5．集合A＝{0，1，2}的真子集个数是________． 7　[集合A＝{0，1，2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，共7个．] 判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}； (2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}； (3)A＝，B＝； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． 解　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA． (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， ∴AB. (3)在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA． (4)∵n∈Z，∴n＋1∈Z.∴B表示偶数集． ∵A也表示偶数集，∴A＝B. [方法总结]　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． [提醒]　若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [训练1]　判断下列每组中的两个集合的关系： (1)A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； (2)A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{y|y＝4k±1，k∈Z}． 解　(1)将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA． (2)当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1. 所以A＝B. 已知集合M＝{x|x＜2，且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集个数、非空真子集个数． 解　M＝{x|x＜2，且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2，且x∈Z}＝{－1，0，1}． (1)M的子集：∅，{0}，{1}，{0，1}；M的真子集：∅，{0}，{1}． (2)N的子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}．∴N的子集有23＝8(个)，N的非空真子集有23－2＝6(个). [方法总结]　求集合子集、真子集个数的三个步骤 [训练2]　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y