模块复习课(六) 对数运算与对数函数（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．对数的运算性质 已知a>0，b>0，a≠1，M>0，N>0，m，n∈R，m≠0. (1)logaM＋logaN＝loga(MN)； (2)logaM－logaN＝loga； (3)logambn＝logab. 2．换底公式及常用结论 已知a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0，m>0，m≠1，n∈R，c>0，c≠1. (1)logaN＝；(2)logab＝＝loganbn； (3)alogaN＝N；(4)logab·logba＝1； (5)logab·logbc·logca＝1. [训练1]　 ＝_______． －　[∵＝ ＝1－lg 3， lg ＋lg 8－lg ＝lg 3＋3lg 2－＝(lg 3－1)＋3lg 2＝(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg ·lg ＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－.] [训练2]　(1)计算： (2－)； (2)已知2lg ＝lg x＋lg y，求. 解　(1)方法一(利用对数定义求值) 设 (2－)＝x， 则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1.∴x＝－1. 方法二(利用对数的运算性质求解) (2－)＝ ＝ (2＋)－1＝－1. (2)由已知得lg ()2＝lg xy， ∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. ∴()2－6()＋1＝0. ∴＝3±2. ∵∴＞1.∴＝3＋2. ∴＝ (3＋2) ＝＝－1. 比较函数值的大小的一般步骤 (1)根据函数值的特征选择适当的函数． (2)根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小． (3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较． (4)必要时，可先将函数值与特殊值0和1进行比较，最后确定它们的大小关系． [训练3]　已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则(　　) A．x<y<z　　　　　　　　　 B．z<x<y C．z<y<x　　　　　　　 D．y<z<x D　[依题意，x＝ln π>ln e＝1，y＝log52<log5＝，1＝e0>z＝＝，于是有y<z<x.] [训练4]　设a＝log32，b＝ln 2，c＝，则(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．b<c<a C．c<a<b　　　　　　　 D．c<b<a C　[因为a＝log32＝，b＝ln 2＝，而3>e且y＝log2x为增函数，所以a<b.又c＝＝，而>2＝log24>log23，所以c<a.综上所述c<a<b.] 常见对数不等式的两种解法 (1)形如logax＞logab(a＞0，且a≠1)的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b(a＞0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． [训练5]　(1)已知loga＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解　(1)由loga＞1得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解； ②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1. ∴a的取值范围是(，1). (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)， 得解得x＞1. ∴x的取值范围是(1，＋∞). 　解答y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型或y＝f(logax)型函数要注意的问题 (1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需有g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需有x>0． (2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中自变量的范围，再利用奇偶性的定义判断． [训练6]　已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1. (1)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的定义域． (2)判断F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由． (3)当a＞1时，求使F(x)＞0成立的x的集合． 解　(1)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，要式子有意义，只需即－1＜x＜1， 所以F(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)F(x)＝f(x)－g(x)是奇函数，理由如下： F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，关于原点对称， 且F(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)， 所以F(x)是奇函数．