模块复习课(二) 常用逻辑用语（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

条件的充要关系的常用判定方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [训练1]　已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件 C　[∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0， ∴“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．] [训练2]　设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要条件　　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件 A　[当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形，因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．] [训练3]　对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是 x∈(A∪B)的________条件． 充要　[由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由A⊆B，得A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B.故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件．] 解题时的注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． [训练4]　已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________________________. (－∞，0]　[α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}．由|x－1|＜1，得0＜x＜2， ∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}． 又∵α是β的必要不充分条件，∴BA， ∴a≤0.] [训练5]　若“x＜－1或x＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？ 解　∵“x＜－1或x＞1”是“x＜a”的必要不充分条件， ∴x＜a⇒ x＜－1或x＞1，但x＜－1或x＞1/⇒x＜a. 如图所示，∴a≤－1.∴a的最大值为－1. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)判断全称量词命题为真命题，需严格的逻辑推理证明；判断全称量词命题为假命题，只需举出反例． (2)判断存在量词命题为真命题，需要举出正例；而判断存在量词命题为假命题时，要有严格的逻辑证明． [训练6]　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0. 解　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以是假命题． (3)是全称量词命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，所以是假命题． 四、全称量词命题和存在量词命题的否定 对全称量词命题和存在量词命题否定的步骤和方法 (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题； (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词，把存在量词换为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． [训练7]　命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 C　[命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．] [训练8]　判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在正实数x，y，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2. 解　(1)是存在量词命题，用符号表示为“∃正实数x，y，使x2＋y2＝0”，为假命题． (2)是全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $