3.3.2 第二课时 指数函数的图象和性质及其应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　指数函数的图象和性质及其应用 某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，水温y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y＝80()＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为_________min. 25　[依题意，当t＝5时，y＝100，当t＝15时，y＝60， 令y＝40，解得t＝25.] [方法总结]　解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：根据已知条件，列出指数型函数关系式，或求出已知指数型函数中的参数． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． [训练1]　已知镭经过100年后的质量为原来的95.76%，设质量为20 g的镭经过100x年后的质量为y g(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出20 g的镭经过1 000年后的质量(精确到0.001 g). 解　把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化． 因为镭原来的质量为20 g， 100年后镭的质量为20×95.76% g， 200年后镭的质量为20×(95.76%)2 g， 300年后镭的质量为20×(95.76%)3 g， … 100x年后镭的质量为20×(95.76%)x g； 所以y与x的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)． 所以20 g镭经过1 000年后的质量为20×(95.76%)10≈12.968(g)． [知能解读]　 1．指数函数图象的特征 在同一平面直角坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示． 直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1, a)，(1, b)，(1, c)，(1, d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”． 2．解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0, 1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，则函数图象过定点(－c, k＋b). (1)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) C　[当x＝1时，y＝a1－a＝0，故函数y＝ax－a的图象过定点(1，0)，结合图象可知选C.] (2)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) C　[由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除选项A，B.作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象．] [方法总结]　指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性决定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势 [训练2]　(1)函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　　) B　[该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象．] (2)已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解　函数y＝|2x－2|的图象如图所示．因为直线y＝2a与该图象有两个公共点，所以0＜2a＜2，即0＜a＜1.故实数a的取值范围是(0，1). 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)求参数b；(2)判断函数的单调性；(3)求参数范围． 第二步，精读题目挖已知条件：函数解析式为分式形式且为奇函数． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用奇函数性质求解；(2)利用定义判断函数的单调性；(3)利用单调性将问题转化为关于t的一元二次不等式恒成立问题． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. (2)由(1)知，f(x)＝＝－＋， 设∀x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－＝. 因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2， 所以2x2－2x1＞0. 又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f