1.3.2 第二课时 基本不等式的应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　基本不等式的应用 　已知x，y均为正数，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时， xy取得最大值． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时， x＋y取得最小值2． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　×　) (2)若a>0，b>0，则ab≤()2.(　√　) (3)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值．(　×　) 2．(教材P30练习3改编)用铁丝围成一个面积为16 cm2的矩形，最少需要铁丝(　B　) A．8 cm　　　　　　　　　 B．16 cm C．32 cm　　　　　　　 D．64 cm 3．已知x＞1，则函数f(x)＝x＋的最小值为(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．2－1　　　　　　　 D．2＋1 D　[∵x＞1，∴x－1＞0.∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．] 4．已知xy>0，且x＋y＝10，则xy的最大值是____25____． [知能解读]　应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最值，但要注意以下三点 (1)a，b一定均为正数； (2)a＋b与ab有一个为定值，才能求另一个的最值； (3)能取等号． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可． (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值； (4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值. 解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，等号成立． ∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4. (2)∵0<x<，∴3－2x>0. ∴y＝4x(3－2x) ＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵∈(0，)，∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<)的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0.∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． ∴x＋的最小值为6. (4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式等号成立． ∴当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. 方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 由＋＝1可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式等号成立． ∴当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. [方法总结]　 (1)应用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接应用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适当的变形． (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和要求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等，以创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质进行适当的变形凑出相等． [训练1]　(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值； (2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值． 解　(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，当且仅当3x＝，即x＝2时，等号成立． ∴f(x)的最小值为12. (2)∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立． ∴f(x)的最大值为－1. 探究二　利用基本不等式求实际问题中的最大值问题 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫作“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(m)与汽车车速v(m/s)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25 m．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5 m，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)当v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：时间间隔T与速度v的函数关系式，车流量最大值． 第二步，精读题目挖已知条件：“刹车距离”公式s＝v2＋v，“安全距离”为“刹车距离”再加25 m. 第三步，建立联系寻解题思路：车流量最大，即每辆车之间