1.2.2 第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立．全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∃x∈M，x不具有性质p(x)． 1．一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀x∈M，x不具有性质p(x)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．(　√　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．(　×　) (3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.(　×　) 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 D　[全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．] 3．命题“∃x∈R，使得f(x)＝x”的否定是(　　) A．∀x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．∀x∈R，都有f(x)≠x D．∃x∈R，使得f(x)≠x C　[命题的否定为“∀x∈R，都有f(x)≠x”．] 4．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么命题p的否定是______________________． ∃x＞2，x3－8≤0　[命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，即命题p的否定是“∃x＞2，x3－8≤0”．] [知能解读]　一些常见量词的否定 量词 是 都是 大于 小于 且 量词的否定 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 量词 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 量词的否定 一个也没有 至多有 (n－1)个 至少有两个 存在一个 x不成立 存在一个 x成立 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解　(1)命题的否定是“∀x＞1，x2－2x－3≠0”．假命题，如x＝3时，x2－2x－3＝0. (2)命题的否定是“任意素数都不是奇数”．假命题，如素数3为奇数． (3)命题的否定是“∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在”．真命题，如a＝0，b＝0时，x∈R；a＝0，b≠0时，解不存在． (4)命题的否定是“存在被5整除的整数，末位不是0”．真命题，如15. [方法总结]　对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 (1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定． [训练1]　写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解　(1)命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”．由平行四边形的定义知，命题的否定是假命题． (2)命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以命题的否定是真命题． (3)命题的否定为“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以命题的否定是假命题． (4)命题的否定为“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”． 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，故命题的否定是假命题． 若“∃x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题，求实数a的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数a的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：“∃x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题． 第三步，建立联系寻解题思路：已知条件等价于“∀x∈R，ax2－2x－1<0”为真命题． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　“∃x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题，等价于“∀x∈R，ax2－2x－1<0”为真命题，即等价于“∀x∈R，ax2－2x－1<0”恒成立． 当a＝0时，－2x－1＜0即x＞－，显然， 当a＝0时，不符合题意． 当a≠0时，有Δ＝4＋4a<0且a<0