1.2.1 第二课时 充要条件（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．(　√　) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　√　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　√　) 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的____________________． 充要条件　[因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r.所以p是r的充要条件．] 4．(教材P18练习1改编)下列各题中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； ②p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. ②　[在①中，p⇒q，qp，所以①中p不是q的充要条件．在②中，p⇔q，所以②中p是q的充要条件．] (多选题)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的为(　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实数根的充分条件 B．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实数根的必要条件 C．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实数根的充要条件 D．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实数根的充分条件 ABCD　[Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根的充要条件．利用该结论可知选项A，B，C是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，故选项D也是正确的．] [方法总结]　判断p是q的充分条件、必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分条件、必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若两者都成立，则p与q互为充要条件． (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解． [训练1]　(1)“m>”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数根”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．充要条件 C．必要不充分条件　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件 B 　[方程x2＋x＋m＝0无实数根⇔Δ＝1－4m<0⇔m>.] (2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件． 充要　[a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0.] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 证明　(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两个实数根).所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两个实数根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. [方法总结]　充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前要分清楚充分性和必要性，即弄清楚由哪些条件推证出哪些结论 [训练2]　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b. 代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实数根的充要条件． 解题流程： 第一步，