1.1.3 第二课时 全集与补集（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　全集与补集 1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集． 2．补集：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，可用Venn图表示． 3．补集的性质：(1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若在全集U中研究问题，则集合U没有补集．(　×　) (2)集合∁BC与∁AC相等．(　×　) (3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．(　√　) 2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM等于(　　) A．U　　　　　　　　 B．{1，3，5} C．{3，5，6}　　　　　　　 D．{2，4，6} C　[∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}， ∴∁UM＝{3，5，6}．] 3．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3，4}　　　　　　　 B．{3，4} C．{3}　　　　　　　 D．{4} D　[∵A＝{1，2}，B＝{2，3}， ∴A∪B＝{1，2，3}．∴∁U(A∪B)＝{4}．] 4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2≥4}，则∁UM等于___________________． {x|－2<x<2}　[∵M＝{x|x≤－2或x≥2}， ∴∁UM＝{x|－2<x<2}．] [知能解读]　 (1)全集是相对于研究问题而言的一个概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集；研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合间的一种运算．求集合A的补集∁UA：首先必须具备A⊆U；其次利用定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}进行运算． (1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． {2，3，5，7}　[方法一　∵A＝{1，3，5，7}， ∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}．] (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． {x|x<－3或x＝5}　[将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．] [变式]　若把本例第(2)题的条件“U＝{x|x≤5}”换成“U＝{x|－6<x<6}”，结果又将如何呢？ 解　∵U＝{x|－6<x<6}，A＝{x|－3≤x<5}， ∴∁UA＝{x|－6<x<－3或5≤x<6}． [方法总结]　求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数轴，需注意端点问题． [训练1]　设全集U＝{1, 2, x2－2}，A＝{1, x}，则∁UA＝________． {2}　[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾．故x≠2，从而x＝x2－2.解得x＝－1或x＝2(舍去).故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，∁UA＝{2}．] 探究二　集合交集、并集、补集的简单综合 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B． 解　在数轴上表示集合A，B如图所示． 由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}， A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． [方法总结]　 1．求解与不等式有关集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观，要注意端点能否取得． 2．求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再运算其他部分，如求(∁R A)∩B时，先求出∁R A，再求交集 [训练2]　(1)设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩(∁UN)＝{2，4}，则N＝(　　) A．{1，2，3}　　　　　　 B．{1，3，5} C．{1，4，5}　　　　　　　 D．{2，3，4} B　[画出Venn图， 阴影部分为M∩(∁UN)＝{2，4}，