1.1.2 集合的基本关系（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．2　集合的基本关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解集合之间的包含与相等关系． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．在具体情境中了解空集的含义并会应用． 通过对集合间的基本关系的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：平面上封闭曲线的内部表示集合． 2．子集、集合相等、真子集的概念 3．子集的两个性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)空集是任何集合的子集．也就是说，对任意一个集合A，都有∅⊆A. 4．当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作AB(或B⊉A). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集．(　√　) (2)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(　√　) (3)空集是任何集合的真子集．(　×　) 2．(多选题)下列关系中正确的是(　　) A．1∈{0，1，2} B．{1}∈{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}＝{2，0，1} ACD　[选项B应该改为{1}⊆{0，1，2}才正确．] 3．(教材P7练习1(2)改编)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系中正确的是(　A　) A．E⊆D⊆C⊆A　　　 B．D⊆E⊆C⊆A C．D⊆B⊆A　　　　　　　 D．E⊆D⊆C⊆B⊆A 4．设a∈R，若集合{2, 9}＝{1－a, 9}，则a＝________． －1　[因为1－a＝2，所以a＝－1.] 5．集合A＝{0，1，2}的真子集个数是________． 7　[集合A＝{0，1，2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，共7个．] [知能解读]　 1．集合间的包含关系有：包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含().使用这些符号时要注意方向，如A⊆B 与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的． 2．不能把“A⊆B”“AB”简单地理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B. 判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}； (2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}； (3)A＝，B＝{x|x＝2k＋，k∈Z}； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． 解　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA. (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， ∴AB. (3)在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z. ∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA. (4)∵n∈Z，∴n＋1∈Z.∴B表示偶数集． ∵A也表示偶数集，∴A＝B. [方法总结]　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． [提醒]　若A⊆B和AB同时成立，则AB能更准确地表达集合A，B之间的关系． [训练1]　判断下列每组中的两个集合的关系： (1)A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； (2)A＝{2n＋1|n∈Z}，B＝{4k±1|k∈Z}． 解　(1)将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA. (2)当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1； 当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1. 所以A＝B. [知能解读]　有限集合的子集、真子集、非空真子集的个数 有限集合A＝{a1，a2，…，an}的子集有2n个；真子集有(2n－1)个；非空子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个． 已知集合M＝{x|x＜2，x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2，x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集个数、非空真子集个数． 解　M＝{x|x＜2，x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2，x∈Z}＝{－1，0，1}． (1) M的子集：∅，{0}，{1}，{0，1}；M的真子集：∅，{0}，{1}． (2)N的子集：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． ∴N的子集有23＝8(个)，N的非空真子集有23－2＝6(个)． [训练2]　已知集合A＝{(x，y)|x＋