重难点04与圆相关的位置关系（11种模型）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）

重难点04与圆相关的位置关系（11种模型） ( 能力拓展 ) 题型一：四点共圆 一．填空题（共1小题） 1．（2021秋•自贡期末）如图，BD为边长为a的菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BD向终点B和D运动，连接DM和AN，DM和AN相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 　　． 【分析】由菱形ABCD中∠BAD＝60°得到△ABD为等边三角形、AB＝AD，得到∠DAM＝∠ABN＝60°，由点M和点N的时间和速度相同得到AM＝BN，得证△DAM≌△ABN，得到∠ADM＝∠BAN，再结合∠DAP+∠BAN＝60°得到∠PDA+∠PAD＝60°，从而得到∠APD＝120°，延长CD至点E，使得ED＝CD，连接AE，则△AED是等边三角形，得到AE＝ED＝AD＝a、∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°，得到∠DEA+∠APD＝180°、∠EAD+∠DAP+∠EDA+∠ADP＝180°，即得点A、P、D、E四点共圆，记为⊙O，连接BO交⊙O于点P，此时BP最小，过点O作OH⊥ED于点H，连接OD，OE，则∠EOD＝2∠EAD＝120°，∠OHD＝90°，从而得到⊙O的半径OD的长，∠HDO＝30°，进而得到∠ODB＝90°，结合BD＝a求得OB的长，最后得到BP的最小值． 【解答】解：∵菱形ABCD中∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形，AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD＝a，∠DAM＝∠ABN＝60°， ∵点M和点N的时间和速度相同， ∴AM＝BN， ∴△DAM≌△ABN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， ∵∠DAP+∠BAN＝∠DAM＝60°， ∴∠PDA+∠PAD＝60°， ∴∠APD＝120°， 延长CD至点E，使得ED＝CD，连接AE，则△AED是等边三角形， ∴AE＝ED＝AD＝a，∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°， ∴∠DEA+∠APD＝180°，∠EAD+∠DAP+∠EDA+∠ADP＝180°， ∴点A、P、D、E四点共圆，记为⊙O， 连接BO交⊙O于点P，此时BP最小， 过点O作OH⊥ED于点H，连接OD，则∠EOD＝2∠EAD＝120°，∠OHD＝90°，DH＝ED＝a， ∴∠HDO＝30°， ∴r＝OD＝＝，∠ODB＝∠EDA+∠ADB﹣∠ODE＝60°+60°﹣30°＝90°， ∴OB＝＝＝， ∴BP最小值＝OB﹣r＝﹣＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造等边三角形解决问题，熟知圆外一点到圆上点的距离的最小值判断． 二．解答题（共5小题） 2．（2022•松北区三模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠ADC+2∠ACD＝180°． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）如图2，若∠ADB+∠BAC＝90°，求证：AB＝AC． （3）在（2）的条件下，连接DO并延长交⊙O于点E，交AB、AC于点H、K，连接EB，当AC＝30，BE＝11时，求tan∠ABC的值． 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质，等式的性质和角平分线的定义解答即可； （2）设∠BAC＝2α，利用圆周角定理，三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （3）连接CE并延长至点M，使EM＝EB，连接AE，AM，过点A作AN⊥CM于点N，连接OA，OC，利用圆周角定理和线段垂直平分线的判定与性质得到EA＝EC，通过证明△AEN≌△AEB，得到AM＝AB，设EN＝m，则MN＝EN+EM＝m+11，则CN＝m+11，EA＝EC＝EN+NC＝2m+11，利用勾股定理列出关于m 的方程，解方程求得m值，则EN＝7，EA＝2×7+11＝25，利用勾股定理求得AN，利用直角三角形的边角关系定理求得tan∠AEN，利用圆周角定理和等量代换的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°． ∵∠ADC+2∠ACD＝180°， ∴∠ABC＝2∠ACD． ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴BD平分∠ABC； （2）证明：设∠BAC＝2α， ∵∠ADB+∠BAC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣α． ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB＝90°﹣α． ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （3）解：连接CE并延长至点M，使EM＝EB，连接AE，AM，过点A作AN⊥CM于点N，连接OA，OC，如图， 由（1）知：BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴AD＝CD．