第08讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积（5大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）

第08讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积（5大考点） ( 考点 考向 ) 1.正多边形与圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 2.弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 3.扇形的面积计算 （1）圆面积公式：S=πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；②和差法；③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 4，圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl． （4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl （5）圆锥的体积=×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． ( 考点 精讲 ) 一．正多边形和圆（共6小题） 1．（2022秋•阿瓦提县月考）若一个正n边形的边长为2cm，则其周长为 　2ncm　． 【分析】根据正n边形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵正n边形的边长相等，且边长为2cm， ∴其周长为2ncm， 故答案为：2ncm． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键． 2．（2021秋•头屯河区校级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可． 【解答】解：连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM＝＝30°， ∴OM＝OB•cos∠BOM＝1×＝； 故选：B． 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键． 3．（2022秋•盐都区月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． （1）求∠CPD的度数； （2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD； （2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案． 【解答】解：（1）连接OD，OC， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠DOC＝90°． ∴； （2）连接PO，OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠COB＝90°， ∵点P为BC的中点， ∴＝， ∴， ∴n＝360÷45＝8． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． 4．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6． 求正方形ABCD的边长和边心距． 【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可． 【解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E． ∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形， ∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6， ∴BE＝OE． 在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得 OE＝BE＝， ∴BC＝2BE＝． 即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为． 【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． 5．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径AF． 2．以F为圆心，