第07讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（人教版）

第07讲 点和圆、直线和圆的位置关系（9大考点） ( 考点 考向 ) 1.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d=r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 2.直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d=r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． ( 考点 精讲 ) 一．点与圆的位置关系（共9小题） 1．（2022秋•拱墅区月考）已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（　　） A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定 【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【解答】解：∵OA＝4＜5， ∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内， 故选：A． 【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 2．（2022秋•邗江区校级月考）⊙O的半径为2，点A到圆心的距离是3，则点A与⊙O的位置关系是 　点A在⊙O外　． 【分析】根据⊙O的半径r＝2，且点A到圆心O的距离d＝3知d＞r，据此可得答案． 【解答】解：∵⊙O的半径r＝2，且点A到圆心O的距离d＝3， ∴d＞r， ∴点A在⊙O外， 故答案为：点A在⊙O外． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 3．（2022•炎陵县一模）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是 　　． 【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值． 【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝， ∵⊙C的半径为1， ∴PQ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 4．（2022秋•启东市校级月考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝，∠BOC＝60°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解） 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2， ∴OH＝OC＝，CH＝3， 在Rt△CKH中，CK＝， ∴CQ的最大值为， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 5．（2022•烟台一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，﹣6），⊙C半径为4，P是⊙C上一动点，Q是线段PB的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是 　7　． 【分析】连接AP，求出A，B两点的坐标，再判断OQ为△BAP的中位线，利用点和圆的位置关系解答即可． 【解答】解：连接AP，如图所示， 令＝0，则x＝±8 故A（﹣8，0），点B（8，0）， ∵Q是BP的中点， ∴OQ为△BAP的中位线， ∴OQ＝AP， ∴当AP最大时，OQ最大， 连接AC，延长AC交圆于点P，PA最大， ∵OA＝8，OC＝6， ∴AC＝10， ∴AP的最大值是10+4＝14， ∴线段OQ的最大值为7．