专题5.10 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题5.10 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质 （知识讲解） 【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象．掌握抛物线y=a（x-h）²与图象之间的关系； 2.熟练掌握函数y=a（x-h）²的有关性质，并能用函数y=a（x-h）²的性质解决一些实际问题； 3.经历探索y=a（x-h）²的图象及性质的过程，体验y=a（x-h）²与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 【要点梳理】 函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【典型例题】 【类型一】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的开口方向、对称轴、顶点坐标 1．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】(1)(2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． （1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 举一反三： 【变式1】确定抛物线y＝﹣x2+6x+1的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10） 【分析】把二次函数化为顶点式，即可得出开口方向、对称轴及顶点坐标． 解：∵y＝﹣x2+6x+1＝﹣（x﹣3）2+10， ∴开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10）． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）是解题的关键． 【变式2】用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】，开口向下，顶点（1，1），对称轴：直线x=1． 【分析】先利用配方法直接把二次函数化成顶点式，再利用的正负判断开口方向，通过二次函数顶点式的性质，求出顶点坐标和对称轴即可． 解：利用配方法可得： 函数开口方向向下． 由二次函数顶点式的性质可知：顶点坐标为（1，1），其对称轴为直线x=1． 【点拨】本题主要是考察了利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，通过顶点式求出相应的顶点坐标和对称轴，因此熟练掌握配方法和顶点式的相关性质，是解决本题的关键． 【类型二】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象增减性 2．已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合． （1）求平移后的抛物线C的解析式； （2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）令，求出点的坐标，然后根据二次函数的平移求解即可． （2）根据二次函数的增减性解答即可． 解：（1）∵， ∴令，则， ∴，即抛物线C的顶点坐标为， 又抛物线C是由抛物线平移得到的， ∴， ∴抛物线C的解析式为． （2）由（1）知，抛物线C的对称轴为直线． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知二次函数的基本性质是解本题的关键． 举一反三： 【变式】对于二次函数． 它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？ 【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴； （2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性． 解：将的图象向左平移个单位可以得到的图象， ∵， ∴抛物线开口向下， 它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是； ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握． 【类型三】二次函数y=a（x-h）²(a、h、常数，a≠0)的图象位置 3．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系． 【答案】图象见分析，