专题10 圆锥曲线中的定点问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题10 圆锥曲线中的定点问题 一、真题剖析 【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以椭圆为载体，考查考生对直线与椭圆位置关系的综合性应用，侧重于对利用几何特征求过定点问题的考查。 【必备知识】本题考查直线与椭圆位置关系、直线过定点的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题考查求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 【解析】(1)：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. (2)，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 二、题型选讲 题型一 圆锥曲线中的直线过定点问题 例1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由． 【答案】(1)y2＝4x； (2)直线m恒过定点(，)，理由见解析. 【解析】由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2， 所以该抛物线的方程为y2＝4x． (2)①当直线l1， l2的斜率都存在时，设直线l1：，直线l2：y－1＝k2（x－1）， 由，消去y得，显然， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， ，， 则以AB为直径的圆的方程为：， ， 即＋＋＝0， 同理，以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0， ∴以两圆公共弦所在的直线m的方程为：． 令，解得，所以直线恒过定点(，)． ②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2， 则以AB为直径的圆的方程为：， 以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0， 所以两圆公共弦所在的直线m的方程为：， 此时直线m恒过定点（，）， 综上得：直线m恒过定点（，）． 变式1、【2020年新课标1卷理科】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 变式2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知点M为直线：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C． (1)求曲线C的方程； (2)设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【解析】 【分析】 （1）利用定义法求曲线C的方程； （2）设直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，化简，代入韦达定理即得解. (