专题3.4 函数的应用（一）（3类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 函数的应用（一） 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 1 【考点2：分段函数模型】 6 【考点3：幂函数模型】 14 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 【知识点：一次、二次、分式函数模型】 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 分式函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)或y＝x＋(a>0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意求得利润函数，然后解不等式即可得． 【详解】由题意日销量x件时，利润是， ，，． 故选：B． 2．某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100 m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式即可求解解析式，结合长度的要求即可得定义域. 【详解】由于场地的长为，则宽为，由题意得S=．易知，，所以自变量的取值范围为．故所求函数的关系式为． 故答案为： 3．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入是单位产量的函数：，则总利润的最大值是______万元．（总利润＝总收入－成本） 【答案】250 【分析】由题意可得总利润总收入固定成本200万元 万元，然后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【详解】根据题意得 ， 所以当时，总利润取得最大值250万元， 故答案为：250 4．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________. 【答案】8.5 【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设定价为元，利润为元， 由题意可知：， 故当时，最大，且最大值为1210. 故答案为:8.5 5．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 【答案】(1)，； (2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元. 【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为，投资股票等风险型产品收益为，结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式； （2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，可得收益函数为，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可. （1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元， 由题意知：，即；，即， ∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，； （2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元， 由题意，投资获得的收益 ， 令，则， ∴原问题为求的最大值. ， ∴当，即万元时收益最大，最大为3万元. 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元. 6．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为50万吨，最多为200万吨，月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益为1万元. (1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？ (2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润. 【答案】(1)每月污水处理量为100万吨 (2)能获利，当该厂每月污水处理量为125万吨时，利润最大为万元 【分析】（1）由题意可知每万吨的处理成本为，再利用基本不等式即可得出答案； （2）由题意可知该厂每月利润，再利用二次函数的性质，即可得出其最值. （1）每万吨的处理成本为， 当且仅当时等号成立， 所以当