4.5 增长速度的比较-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版）

(教师独具内容) 课程标准：1.理解函数平均变化率的概念，知道函数平均变化率的几何意义.2.会求函数在指定区间上的平均变化率．3.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 教学重点：1.函数平均变化率的概念.2.函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：1.通过学习函数平均变化率的概念、几何意义培养数学抽象素养.2.通过利用函数的平均变化率比较函数的增长速度培养数学运算素养和逻辑推理素养． 知识点一　平均变化率的概念 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为＝． 知识点二　平均变化率的几何意义 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率＝表示函数y＝f(x)图像上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直线的斜率． 知识点三　平均变化率的实质 平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢． 知识点四　两种重要的函数增长 (1)指数增长 ①性质：当a>1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的无限增大，f(x)＝ax的函数值增长会越来越快； ②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长). (2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长). 1．对Δx，Δy的理解 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零． 2．对平均变化率的理解 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位．(　　) (2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.(　　) (3)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度快．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数y＝，当自变量x由2变为1.5时，相应函数值的改变量Δy＝________． (2)函数f(x)＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为________． (3)一物体的运动方程为s＝5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. 答案　(1)　(2)2　(3)20 题型一 求函数的平均变化率 例1　已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢． [解]　在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 因为<，所以函数f(x)＝x＋在区间[3，5]上函数值变化的较快． 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢. 解　在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝3， 在区间[3，4]上，函数f(x)的平均变化率为＝＝7. 因为7>3，所以函数f(x)＝x2在区间[3，4]上函数值变化的较快． 题型二 函数平均变化率的应用 例2　已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1. (1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率； (2)比较两函数在该区间上函数值变化的快慢． [解]　(1)因为Δx＝(－1)－(－3)＝2. 对于函数f(x)，Δf＝f(－1)－f(－3)＝3×(－1)＋1－[3×(－3)＋1]＝6. 所以函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝3. 对于函数g(x)，Δg＝g(－1)－g(－3)＝2×(－1)2＋1－[2×(－3)2＋1]＝－16. 所以函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－8. (2)因为|3|<|－8|，所以函数g(x)在区间[－3，－1]上函数