4.1.1 实数指数幂及其运算-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版）

4.1.1　实数指数幂及其运算 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对有理数指数幂a (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握指数幂的运算性质． 教学重点：根式与分数指数幂的互化． 教学难点：运用指数幂的运算法则进行化简、求值． 核心素养：1.通过学习n次方根的概念、根式的概念、根式的性质、指数幂的意义及指数幂的运算法则培养数学抽象素养.2.通过运用指数幂的运算法则进行化简、求值培养数学运算素养． 知识点一　n次方根的概念 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 知识点二　n次方根的表示 根据方程xn＝a解的情况可以看出： (1)0的任意正整数次方根均为0，记为＝0． (2)正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． 知识点三　根式及相关概念 当 有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 知识点四　根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a|． 知识点五　分数指数幂的意义 (1)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义． 对于一般的正分数，规定a＝()m＝，其中为既约分数． (2)当s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝. 知识点六　无理数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数． 知识点七　实数指数幂的运算法则 asat＝as＋t(s，t∈R)， (as)t＝ast(s，t∈R)， (ab)s＝asbs(s∈R). 1．()n与 的含义 (1)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，()n＝a, ＝a. (2)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义．(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，(±)n＝a; 对任意a∈R都有意义， ＝|a|. 2．分数指数幂的理解及应用 (1)a不可理解为个a相乘，一定要与an(n∈N＋)的意义区分开． (2)a＝ 实现了根式与分数指数幂的相互转化，其规律为 (3)在计算与化简中，对于结果，不强调统一用什么形式来表示，若无特殊要求，则一般用分数指数幂的形式；若有要求，则根据要求给出结果．结果不能同时含有分数指数和根号，也不能既有负指数又有分母． 3．对无理数指数幂的理解 无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近无理数指数幂的准确值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为34＝81，所以3是81的四次平方根．(　　) (2)当n∈N＋时，( )n都有意义．(　　) (3)＝π－3.(　　) (4)π是一个确定的实数．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)化简：＝________． (2)计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0＝________． (3)计算：21＋×＝________． (4)若x3＝5，则x＝________． (5)若n为正偶数时， ＝x－1，则x的取值范围为________． 答案　(1)xy　(2)－　(3)1　(4) (5)[1，＋∞) 题型一 根式的性质与运算 例1　化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)＋ ＋ . [解]　(1)＝a. (2)＝|x－4|＝ (3)＝＝|a3|＝ (4)∵＝＝|2a－1|，又a≤，∴2a－1≤0，∴|2a－1|＝1－2a，即原式＝1－2a. (5)∵3－2＝()2－2＋1＝(1－)2， ∴原式＝ ＋ ＋ ＝|1－|＋(1－)＋|1－| ＝－1＋1－＋－1 ＝－1. 解决根式化简问题的关键 (1)利用根式的性质解题的关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质，特别要注意，在中，n是偶数且a<0的情况． (2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换及平方差、立方差和完全平方公式的运用，做到化繁为简，必要时需进行讨论． 　计算下列各式的值： (1)；(2)；(3)； (4)＋ ＋ ； (5)＋ . 解　(1)＝－4. (2)＝＝＝3. (3)＝|x－2|＝ (4)原式＝－6＋(4－)＋－4＝－6. (5)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；