21.2.4解一元二次方程的根与系数的关系（C层培优）

21.2.4解一元二次方程的根与系数的关系（C层培优） 建议用时：15分钟 1．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），=_____． 【答案】 【解析】 【分析】 由根与系数的关系得an+bn=n+2，an•bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则，然后代入即可求解． 【详解】 解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an•bn=-2n2， 所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1）， 则 = = = 故答案为： 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 2．关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)-3 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值． (1) 证明：∵Δ=b2-4ac =[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2） =k2+2k+1 =（k+1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； (2) 解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2， ∵x1+x2+x1x2=2， ∴k-3+（-2k+2）=2， 解得k=-3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1•x2=． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m的值； (2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围； (3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是