单元复习05 函数的概念与性质【过知识】-2022-2023学年高一数学单元复习过过过（苏教版2019必修第一册）

苏教版2019选择性必修第一册 单元复习05 函数的概念与性质 1 1.函数的概念 函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数. 2.函数的三种表示方法及其优缺点 (1)解析法、列表法、图象法均是函数的表示方法，解析法是从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系；图象法从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系；列表法可根据表格，由自变量x的取值查到和它对应的唯一的函数值y. 知识点梳理 知识点梳理 知识点梳理 (2)三种表示方法各有优缺点，并不是所有的函数都能用解析法表示，解题时要根据需要选择适当的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义. 3.函数的单调性 (1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键. (2)函数单调性的证明 根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： ①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2，得x2－x1>0； ②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论. 4.函数的奇偶性 性质：①函数y＝f(x)是偶函数⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称. ②函数y＝f(x)是奇函数⇔y＝f(x)的图象关于原点对称. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反. ④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0. 要点一　求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：a.f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同； b.定义域是指x的范围. (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1]. 答案　(1)D　(2)C 要点二　分段函数 分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式.主要考查与分段函数有关的求值，求参数，判断单调性，奇偶性和解不等式等问题. 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验. 要点三　函数的图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能直接判断函数的单调性，奇偶性等性质，还可以比较大小，求最值等，同样，由函数的性质也能准确的画出函数图象. 要点四　函数性质的综合应用 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性方面解决. 函数的单调性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛.而奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围，使求解的问题避免进行复杂的讨论. 题型探究 易错警示 THANKS “ ” (3)证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调增函数⇔任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；(2)f(x)是单调减函数⇔任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0. 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称) →eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－x）＝－f（x）⇔y＝f（x）为奇函数，,f（－x）＝f（x）⇔y＝f（x）为偶函数.)) 【例1】　(1)函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\v