专题02 全等模型-半角模型-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题02 全等模型--半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.半角模型 【模型解读】 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 【常见模型及证法】 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 【答案】370 【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，，，，， 是等边三角形，,, 在中，，， ，，， 中，，， ， ， ，中， 是等腰直角三角形 由阅读材料可得， 路线的长比路线的长少．答案：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系． 【答案】(1)BE＋DF＝EF(2)证明见解(3) 【分析】（1）将△ABE绕A点逆时针旋转，旋转角等于∠BAD得△，证明△AEF≌△，等量代换即得结论；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，先证明∠EAF=，再证明△AEF≌△，等量代换即得结论；（3）将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，先利用圆内接四边形的性质证明P，C，在同一直线上，再证明△为等腰直角三角形，等量代换即得结论． （1）解：结论：BE＋DF＝EF，理由如下： 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示， 可知，∴． 由∠ADC+∠=180°知，C、D、共线， ∵，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF， ∴∠+∠DAF=∠EAF=， ∴△AEF≌△，∴EF==BE+DF． （2）证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示， 由旋转可知，∴，，，． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∴，∴点C，D，在同一条直线上． ∵，∴， ∴，∴，∴． ∵AF＝AF，∴，∴，即BE＋DF＝EF． （3）结论：，理由如下： 证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，使得AB与AC重合，如图所示， 由圆内接四边形性质得：∠AC+∠ACP=180°， 即P，C，在同一直线上．∴，， ∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=， ∴△为等腰直角三角形，∴，即． 【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形． 3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】 如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系______（不要求证明） ②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①不成立，结论：；②，见解析；（3） 【分析